命題邏輯, 真值表 & 邏輯運算子
命題
一個命題是一個可以被判斷為 真 True 或 假 False 的陳述句。
- P: 地球是圓的。
- P: 蘋果是可食用的。
- P: 如果今天下雨，我就不出門。
這些最簡短的命題是原子命題。幾個原子命題可以通過邏輯運算子組合為複雜命題。
- P: 如果今天不下雨並且商店開門，我就出門。
真值表
一個命題P可以是真或假:
| 命題P |
|---|
| T |
| F |
另一個命題Q可以是真或假:
| 命題Q |
|---|
| T |
| F |
兩個命題進行運算，以下文的AND為例(P與Q同時成立為真):
| P | Q | P ∧ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
邏輯運算子
Negation: NOT ¬
P: 今天天氣晴朗 ¬P: 今天天氣不晴朗
Conjunction: AND ∧
P: 我帶了錢 Q: 商店開著
P ∧ Q: 我帶了錢並且商店開著
| P | Q | P ∧ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
Disjunction: Inclusive OR ∨
P: 你會唱歌 Q: 你會跳舞
P ∨ Q: 你會唱歌或你會跳舞
| P | Q | P ∨ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
Disjunction: Exclusive XOR ⊕
P: 你會唱歌 Q: 你會跳舞
P ⊕ Q: 要嘛你會唱歌，要嘛你會跳舞，但不能兩者都是
| P | Q | P ⊕ Q |
|---|---|---|
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
Conditional / Implication: IF…THEN… →
IF ... THEN ...制定了一個規則並關注這個規則是否違約，它并不關注事件的前因後果和發生先後。
例如IF P THEN Q，P是規則的觸發條件，Q是條件觸發後的必要動作，P → Q是規則的判定結果。如果P為假，那麼規則未觸發。如果P為真且Q為真，那麼規則已達成；如果P為真且Q為假，這視作違規。
- 規則觸發且規則已達成 T
- P真 Q真
- 規則未觸發 T
- P假 Q真
- P假 Q假
- 違規 F
- P真 Q假
在數學上，P是Q的充分條件，Q是P的必要條件:
- 有P就保證有Q
- 沒有Q就必然沒有P
P: 我醒了 Q: 我起床蓋被子
P → Q用語言表達為”如果我醒了，我就起床蓋被子。“，但它實際指的是”醒來是觸發條件，蓋被子是觸發後的任務。只要我一醒來，我就必須蓋被子以完成任務。只要我沒有醒來，被子蓋不蓋與我無關。“。
| P | Q | P → Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Biconditional: IF AND ONLY IF ↔
IF AND ONLY IF制定了一對雙向的IF...THEN...規則，這兩個規則必須同步（同時成立或同時不成立）：
(P → Q) ∧ (Q → P)例如：
- P: 我醒了
- Q: 我起床了
P ↔ Q: 我起床蓋被子，當且僅當我醒了。(P → Q)部分有一個結果爲假，(Q → P)部分也有一個結果爲假：
- 我醒了，但我沒有起床
- 我起床了，但我沒有醒
除了以上2種情況，(P → Q)和(Q → P)的其它情況都爲真：
- 我醒了，我起床了
- 我沒有醒，我起床了
- 我沒有醒，我沒有起床
- 我起床，我醒了
- 我沒有起床，我醒了
- 我沒有起床，我沒有醒
| P | Q | (P → Q) ∧ (Q → P) = P ↔ Q |
|---|---|---|
| T | T | 真 ∧ 真 = 真 |
| T | F | 假 ∧ 真 = 假 |
| F | T | 真 ∧ 假 = 假 |
| F | F | 真 ∧ 真 = 真 |
整理后如下：
| P | Q | P ↔ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
IF AND ONLY IF禁止了XOR的發生。也就是:
¬ (P ↔ Q) = (P ⊕ Q)運算子的優先級
| Priority | Name | Shorthand | Symbol |
|---|---|---|---|
| 1 | Parentheses | Parentheses | () |
| 2 | Negation | NOT | ¬ |
| 3 | Conjunction | AND | ∧ |
| 4 | Disjunction XOR | XOR | ⊕ |
| 5 | Disjunction OR | OR | ∨ |
| 6 | Implication | IF…THEN… | → |
| 7 | Biconditional | IF AND ONLY IF | ↔ |